henry 发自 凹非寺
量子位 | 公众号 QbitAI
我看呐，只要以后笔记本半开着，就没有人的事儿了。
刚刚，OpenAI研究院Ethan Knight宣布：
昨儿刚出的GPT-5.6，用不到一小时，就完成了一道存在了半个世纪的图论猜想证明。
而这道题呢，来头也还真不小，就是大名鼎鼎的循环双覆盖猜想（Cycle Double Cover Conjecture）。
为解决这道题，研究员把现在最顶的GPT-5.6 Sol蹬到Ultra；GPT呢，又自己蹬了64个子agent。
最后，硬是写出了一份三页的pdf，证明完毕，Over。
发布后，还在韩国开ICML的Noam Brown（o1核心贡献者）也隔着太平洋第一时间赶来捧场。
他表示，这次和此前的Erdős单位距离问题不同，不靠什么内部特供模型，靠公开能用的GPT-5.6 Sol Ultra就把活儿干了。
而且，GPT-5.6 Sol Ultra把测试时计算并行大幅铺开，原本可能要磨上一整天的证明，如今被64个子agent压进了一个小时。
可以说，在数学这块，前沿模型的天花板还在拉高。而多agent，也能极快地加速任务的处理时间。
当然，你可能会问，那咋了？AI不老证明数学题吗？
但这次还真不太一样，OpenAI这次顺手放出了完整prompt，而这里面就有驾驭GPT-5.6这类神话级模型的保姆级技巧：
不替模型规定解法，只把验收标准钉死。定义、范围、边界情况，提前一次说清，适当重复目标，防止上下文漂移。不只说要什么答案，还写清什么不算答案。复杂任务不要固定分工，而要动态搜索，并设置独立审查。接下来，我们一起来看。
一小时秒杀的，究竟是什么题先说这个题本身。
循环双覆盖猜想，通常被追溯到Tutte、Itai 与 Rodeh、George Szekeres、Paul Seymour等数学家在上世纪陆续提出，长期被视为图论中最重要的开放问题之一。
它问的是：
给你一张由点和线组成的图，能不能找出一批首尾相接的“圈”，让图上的每一条边，都刚好被这些圈经过两次？
咱们以上图为例：白圈是路口，彩线是道路，A到J是十个顶点。
最外面的绿色路线从A出发，依次经过B、C、D、E，最后重新回到A，这就是一个圈。
但只有绿色这一圈还不够，因为它只经过了图最外侧的几条边，而且每条边目前只被覆盖了一次。
要满足圈双覆盖，还需要继续加入更多能够绕回起点的路线。
比如蓝色路线也经过了A到B，随后拐进图的内部，最后重新回到A。
这样一来，A到B这条边就被覆盖了两次：绿色一次，蓝色一次。
其他边也要用类似的方法补齐。最终，无论挑出图中的哪一条边，都应该恰好有两个圈经过它。
这些圈可以互相重叠，也可以共享很多条边；它们不需要是图中最短、最外侧或最规整的圈。唯一的要求就是：
每一条边，在所有圈中出现的总次数必须恰好等于二。
此外，这里还要补充一个关键条件：这张图必须是无桥图。
所谓“桥”，就是一条一旦被删除，整张图就会被断开的边。
比如我们把上面的A—F删掉，路线仍然可以沿着A—B—G—I—F，从另一条路到达F，整张图不会因此断开。
乍看之下，这个猜想似乎很自然。
一张图只要没有桥，那么每一条边至少都属于某个圈。既然每条边都能塞进一个圈，把这些圈收集起来，不就完成了吗？
可问题在于，圈双覆盖要求的不是“至少覆盖一次”，而是每一条边恰好覆盖两次。
你为了补上一条只出现过一次的边，加入一个新圈，可能会顺便让其他边从两次变成三次；为了修复这些边，又可能继续影响更多边。
因此，难点并不是单独为每条边寻找一个圈，而是让所有圈在整张图上同时协调：
既不能漏掉任何边，也不能让任何边多出现一次。
那GPT是怎么做的？
它没有硬找圈，而是先给边贴标签GPT-5.6在这份证明稿没有直接在图里寻找一堆圈，而是换了一种思路：
先把“找圈”转化成一个有限域上的边标号问题，再用线性代数证明这些标号一定能够在整张图上拼起来。
证明大致分成四步。
第一步，先把一般图归约成三次图，也就是每个顶点都恰好连着三条边。只要三次图的情况被证明，原问题也就随之解决。
第二步，利用无处为零的8流定理，给每条边贴上一个非零的“三位二进制标签”。这些标签还满足一个条件：在每个顶点处，相邻三条边的标签能够彼此抵消。
第三步，再把每条边的一个标签，扩展成两个标签。目标是让同一个标签在每个顶点附近，要么完全不出现，要么恰好出现两次。
这样一来，把所有带有同一个标签的边单独拿出来，它们自然会首尾相接，组成若干个圈。由于每条边恰好带两个标签，也就恰好属于两个圈。
第四步，也是最关键的一步，是让这些局部标签在整张图上彼此一致。
因为同一条边连接两个顶点，两端给出的标签必须完全相同。GPT-5.6把这个全局协调问题转化成一个线性方程组，再用对偶空间和奇偶性证明，这组方程一定有解。
最终，所有局部标号都能拼成一个统一的全局方案，相同标签的边自动组成圈，每条边也恰好被两个圈覆盖。
总的来说，这份证明最核心的思路是：
它没有直接去找一批圈，而是先设计一种特殊的边标号，让圈自己从标号中“长出来”。
原本复杂的图结构问题，也就被转化成了一个可以用线性代数解决的全局一致性问题。
普通人能抄的prompt作业最后，就到了我们非数学专业人也能用到的环节。
就像开头所说，OpenAI这次还公布了完整的prompt。
先说这套提示词给人的第一印象，就是非常长，大约700个英文字符。
它一方面说明，如今的模型已经能够消化相当复杂、相当具体的长指令；另一方面，也延续了最近炒得很好的loop engineering以及“神话级模型”一贯的prompt风格：
不规定一套固定 SOP，而是定义最终结果与验收标准。
换句话说，它不替模型规定“第一步做什么、第二步做什么”，而是把什么才算真正完成、哪些结果不算完成，全部写清楚。
具体展开来看，这份prompt有四点尤其值得学习。
第一，不写解题步骤，但要写清楚“什么叫解完”
很多人写复杂任务的prompt，第一反应是给模型安排一套流程：
先分析问题，再提出方案，再逐步验证，最后总结答案。
但对于真正困难、路径未知的任务，SOP未必有用。
因为你事先写下的步骤，很可能本身就是错的。模型一旦沿着错误路线执行得非常认真，最后只会得到一份结构完整的错误答案。
OpenAI这份prompt采取了相反的思路：
它不规定模型必须使用归纳法、流理论还是极小反例，而是反复强调，最终结果必须满足什么条件。
比如，它直接把验收标准锁定为：
每一个有限、无桥、无自环的多重图，都必须被证明存在圈双覆盖。
与此同时，它还还明确禁止模型通过添加额外假设来“绕道”解决问题。
不能只证明三次图，不能只证明平面图，也不能假设图一定连通。
这类写法最值得借鉴的地方是：
对路径未知的任务，不要过度规定过程，而要把最终交付物定义清楚。
第二，把定义、范围和边界情况一次性说清楚。
模型出现错误，很多时候并不是不会推理，而是一开始理解的任务就和你想要的不一样。
所以，OpenAI在正式提出问题前，先花了很大篇幅定义：
什么是图，什么是桥，什么是圈，什么是圈双覆盖；平行边是否允许；两条平行边能不能组成一个圈；不连通图算不算；无边图应该如何处理。
它甚至专门强调：
覆盖中的圈不必是诱导圈，也不必彼此边不相交；唯一要求是，每条边总共恰好出现两次。
这里的作用，是把所有可能产生歧义的地方提前消掉。而越是重要的任务，越不能依赖模型“应该知道我是什么意思”。
值得一提的是，在这份长prompt里，研究员还多次在不同位置重复“最终目标是什么”。
这种重复看似啰唆，实际是在帮助模型长时间推理时不偏离任务。
第三，不只告诉模型什么是答案，还要列出什么不算答案。
这是这份prompt里最值得直接抄走的技巧。
它没有停留在“请给出完整证明”这种抽象要求上，而是专门列出了一批看起来已经很接近、实际上仍然没有完成任务的结果。
比如，只证明某些特殊图类，不算，构造出覆盖，但部分边不是恰好出现两次也不算；
这种提前预测模型偷懒的方式，就先天地排除了一些可能失败的方式。
第四，复杂任务不要固定分工，而要动态搜索，并设置独立审查。
OpenAI还要求模型调用最多64个智能体，但它没有简单地规定：
10个智能体研究路线A，10个智能体研究路线B。
相反，它要求先建立多样化的方法组合，再根据每条路线的实际进展动态调整资源。
如果大量智能体都挤到同一种方法上，就把一部分重新分配到尚未探索的方向；
如果某条路线卡在一个和原问题同样困难的引理上，就将它标记为“受阻”，除非出现新的机制，否则不要继续堆算力。
此外，它还专门设置了“对抗性智能体”，负责检查候选证明有没有偷换定义、漏掉边界情况，或者把一个闭合路径硬说成圈。
与此同时，每个子agent回来时必须带具体引理、方程、构造或反例。不能只汇报“有进展”。
这里包含两个很实用的prompt原则。
一个是，复杂问题需要探索多条互相独立的路线，不能让所有模型一开始就知道“当前最被看好的答案”，否则很容易集体收敛到同一个错误上。
另一个是，生成答案和检查答案最好分开。不要让提出方案的模型顺手给自己的方案打分，而要专门安排一个角色找漏洞。
所以，OpenAI这份prompt真正值得学习的，并不是它写得足够长，而是它把一个复杂任务写成了一份可以验收、可以审查、也可以不断纠错的任务合同：
不规定唯一道路，但把终点、边界、失败条件和审查机制全部写清楚。
到这里，就是我们从这份prompt里总结出来的几个技巧。
完整链接就下面，有兴趣的朋友可以进一步学习。
参考链接
[1]https://cdn.openai.com/pdf/04d1d1e4-bc75-476a-97cf-49055cd98d31/cdc_prompt.pdf
[2]https://cdn.openai.com/pdf/04d1d1e4-bc75-476a-97cf-49055cd98d31/cdc_proof.pdf
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